Utilize a definição de limite para mostrar que lim x 4 3 x+1 neq 12.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos usar a definição de limite para provar que o limite de quando se aproxima de 4 não é igual a 12. Para isso, precisamos entender bem a definição formal de limite e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número pequeno , conseguimos encontrar outro número tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos deixar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para mostrar que . Para fazer isso, vamos assumir que o limite é 12 e tentar encontrar um que faça essa afirmação falhar.

Passo 4

Vamos escolher um . Nosso objetivo é mostrar que não existe um tal que, se , então .

Passo 5

Calculando a diferença |3x + 1 - 12| = |3x - 11| = 3|x - 113| :
3|x - 113| < 0.5 implies |x - 113| < 0.53 approx 0.1667
Queremos que isso seja menor que 0.5:

Passo 6

No entanto, |4 - 113| = 13 approx 0.3333 está se aproximando de 4, e . A distância entre 4 e é:
Isso significa que, mesmo que escolhamos menor que 0.1667, sempre haverá valores de próximos a 4 que fazem , o que torna .

Passo 7

Portanto, não conseguimos encontrar um que satisfaça a condição para . Isso mostra que a definição de limite não é atendida para .

Resposta

Concluímos que usando a definição de limite, já que não existe um que satisfaça a condição para .

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