Utilize a definição de limite para mostrar que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos usar a definição de limite para provar que o limite de
quando
se aproxima de 4 não é igual a 12. Para isso, precisamos entender bem a definição formal de limite e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que
se, para todo número pequeno
, conseguimos encontrar outro número
tal que, sempre que
, então
. Basicamente, isso significa que podemos deixar
tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para mostrar que
. Para fazer isso, vamos assumir que o limite é 12 e tentar encontrar um
que faça essa afirmação falhar.
Passo 4
Vamos escolher um
. Nosso objetivo é mostrar que não existe um
tal que, se
, então
.
Passo 5
Calculando a diferença
:
Queremos que isso seja menor que 0.5:
Passo 6
No entanto,
está se aproximando de 4, e
. A distância entre 4 e
é:
Isso significa que, mesmo que escolhamos
menor que 0.1667, sempre haverá valores de
próximos a 4 que fazem
, o que torna
.
Passo 7
Portanto, não conseguimos encontrar um
que satisfaça a condição para
. Isso mostra que a definição de limite não é atendida para
.
Resposta
Concluímos que
usando a definição de limite, já que não existe um
que satisfaça a condição para
.