Utilize a definição f^prime(x)=lim De para determinar a derivada das funçōes: f(x)=2x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f^prime(x) = limDe e precisamos encontrar a sua derivada usando a definição de derivada:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de limites e manipulação algébrica.

Passo 2

Vamos substituir f(x + De na definição da derivada. Sabemos que:
f^prime(x) = limDe
Então, a expressão da derivada fica:

Passo 3

Para simplificar a expressão, vamos colocar as frações dentro do numerador sobre um denominador comum:
2(x + De
Então, a derivada fica:
f^prime(x) = 2 cdot limDe

Passo 4

Vamos combinar as frações dentro do numerador:
1(x + De
Substituindo de volta na expressão da derivada:
f^prime(x) = 2 cdot limDe

Passo 5

Agora, vamos expandir (x + De usando a fórmula do binômio:
x^3 - (x^3 + 3x^2De
Subtraindo isso de :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f^prime(x) = 2 cdot limDe
Podemos fatorar - De no numerador:

Passo 7

Cancelando f^prime(x) = 2 cdot limDe no numerador e denominador:
f^prime(x) = 2 cdot -3x^2x^3 cdot x^3 = 2 cdot -3x^2x^6 = 2 cdot ( -3x^4 ) = -6x^4
Agora, podemos aplicar o limite :

Resposta

A derivada da função é:
f^prime(x) = -6x^4

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