Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
l sen(a) sen(b)=12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b)=12(sen(a-b)+sen(a+b)) cos (a) cos (b)=12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral sen(4 x) cos (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral da função sen(4x) cos(2x). Para isso, vamos utilizar as fórmulas trigonométricas fornecidas, que ajudam a transformar produtos de funções trigonométricas em somas ou diferenças, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais fórmulas trigonométricas podemos aplicar. Observamos que temos um produto de sen(4x) e cos(2x). A segunda fórmula fornecida é:
sen(a) cos(b) = 12 [ sen(a - b) + sen(a + b) ]
Aqui, podemos associar a = 4x e b = 2x.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a = 4x e b = 2x, temos:
sen(4x) cos(2x) = 12 [ sen(4x - 2x) + sen(4x + 2x) ]
Simplificando as expressões dentro das funções seno:
sen(4x) cos(2x) = 12 [ sen(2x) + sen(6x) ]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sen(4x) cos(2x) , dx = integral 12 [ sen(2x) + sen(6x) ] dx
Podemos separar a integral em duas partes:
= 12 integral sen(2x) , dx + 12 integral sen(6x) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Lembrando que:
integral sen(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Onde k é uma constante e C é a constante de integração.
Primeira integral:
12 integral sen(2x) , dx = 12 ( -12 cos(2x) ) = -14 cos(2x)
Segunda integral:
12 integral sen(6x) , dx = 12 ( -16 cos(6x) ) = -112 cos(6x)

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
-14 cos(2x) - 112 cos(6x) + C
Podemos escrever de forma mais organizada:
-14 cos(2x) - 112 cos(6x) + C

Resposta

A primitiva da função sen(4x) cos(2x) é:
-14 cos(2x) - 112 cos(6x) + C

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(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a. y = tg(5 x^3) * (7 x^5 + 8) / (x^2 + 1)
b. y = sec(raiz cubica(x + 1))
Obtenha a primitiva reconhecendo-a a partir das regras de derivação:
integral x^2-5 x+13 x^2 d x
Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
l sen(a) sen(b)=12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b)=12(sen(a-b)+sen(a+b)) cos (a) cos (b)=12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral cos (5 x) cos (6 x) d x
Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
l sen(a) sen(b)=12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b)=12(sen(a-b)+sen(a+b)) cos (a) cos (b)=12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral cos (m x) sen(n x) d x, m, n in N