Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral 3 x cos (2 x) d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da função vamos derivar e quais vamos integrar.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Primeiro, vamos escolher u = 3x e dv = cos(2x) , dx e na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao ser derivada. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos derivar du = ddx(3x) , dx = 3 , dx e integrar v = integral cos(2x) , dx :
v = 12 sin(2x)
Para integrar , lembramos que . Então:

Passo 4

Vamos agora aplicar a fórmula da integração por partes:
integral 3x cos(2x) , dx = u v - integral v , du
Substituindo = 3x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 3 , dx , = 3x2 sin(2x) - 32 integral sin(2x) , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral restante integral sin(ax) , dx = -1a cos(ax) . Sabemos que:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x)
Então:
3x2 sin(2x) - 32 ( -12 cos(2x) )
Substituindo de volta:

Passo 6

Simplificando os sinais:
3x2 sin(2x) + 34 cos(2x)

Resposta

A integral é:
integral 3x cos(2x) , dx = 3x2 sin(2x) + 34 cos(2x) + C

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