Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral de em relação a . O conteúdo que vamos utilizar para resolver essa integral é a integração por partes, uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para aplicar essa técnica, precisaremos identificar quais partes da expressão serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver. No nosso caso, podemos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando e :
E para encontrar , integramos :
Agora temos todos os componentes necessários para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Substituindo , , :
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Agora, enfrentamos uma nova integral: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Distribuindo o :

Passo 7

Agora, temos a mesma integral dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de :
Para resolver para , somamos dos dois lados:
Combinando os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é:

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