Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral e^x / 2 cos (3 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral de em relação a . O conteúdo que vamos utilizar para resolver essa integral é a integração por partes, uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para aplicar essa técnica, precisaremos identificar quais partes da expressão serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = e^x/2 e dv = cos(3x) , dx e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver. No nosso caso, podemos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando du = ddx(e^x/2) dx = 12 e^x/2 dx e v = integral cos(3x) , dx = 13 sin(3x) :
E para encontrar , integramos :
Agora temos todos os componentes necessários para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral e^x/2 cos(3x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo = e^x/2 cdot 13 sin(3x) - integral 13 sin(3x) cdot 12 e^x/2 dx , = 13 e^x/2 sin(3x) - 16 integral e^x/2 sin(3x) , dx , :
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Agora, enfrentamos uma nova integral: u = e^x/2 e dv = sin(3x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral. Desta vez, escolhemos:
du = 12 e^x/2 dx
Calculando v = -13 cos(3x) e integral e^x/2 sin(3x) , dx = uv - integral v , du :
= e^x/2 cdot (-13) cos(3x) - integral (-13) cos(3x) cdot 12 e^x/2 dx
= -13 e^x/2 cos(3x) + 16 integral e^x/2 cos(3x) , dx
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral e^x/2 cos(3x) , dx = 13 e^x/2 sin(3x) - 16 ( -13 e^x/2 cos(3x) + 16 integral e^x/2 cos(3x) , dx )
Distribuindo o = 13 e^x/2 sin(3x) + 118 e^x/2 cos(3x) - 136 integral e^x/2 cos(3x) , dx :

Passo 7

Agora, temos a mesma integral I = 13 e^x/2 sin(3x) + 118 e^x/2 cos(3x) - 136 I dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de I + 136 I = 13 e^x/2 sin(3x) + 118 e^x/2 cos(3x) :
3736 I = 13 e^x/2 sin(3x) + 118 e^x/2 cos(3x)
Para resolver para I = 3637 ( 13 e^x/2 sin(3x) + 118 e^x/2 cos(3x) ) , somamos I = 1237 e^x/2 sin(3x) + 237 e^x/2 cos(3x) + C dos dois lados:
Combinando os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é:
integral e^x / 2 cos(3x) , dx = 1237 e^x/2 sin(3x) + 237 e^x/2 cos(3x) + C

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