Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral de
em relação a
. O conteúdo que vamos utilizar para resolver essa integral é a integração por partes, uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para aplicar essa técnica, precisaremos identificar quais partes da expressão serão
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver. No nosso caso, podemos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando
e
:
E para encontrar
, integramos
:
Agora temos todos os componentes necessários para aplicar a fórmula da integração por partes.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Substituindo
,
,
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, enfrentamos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, temos a mesma integral
dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Para resolver para
, somamos
dos dois lados:
Combinando os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é:
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