Utilize o item (a) para encontrar um valor aproximado de
com
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar uma aproximação para √2 usando o método que foi citado no item (a). Isso envolve matemática de métodos numéricos, especificamente o método de iteração para encontrar raízes de funções. Vamos precisar começar com um chute inicial, que aqui é
, e continuar refinando esse valor até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual função queremos resolver. Para encontrar √2, podemos pensar na equação
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula do método é:
Onde
é a derivada de
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos começar com
e aplicar a fórmula:
Passo 6
Agora, calculamos a diferença entre
e
:
Como 0.083333… >
, precisamos continuar a iteração.
Passo 7
Calculando
:
Diferença:
Ainda maior que
, seguimos.
Passo 8
Continuamos esse processo, calculando
e verificando a diferença a cada passo. Cada iteração nos aproxima mais de √2.
Passo 9
Após várias iterações, a diferença entre
e
será menor que
, garantindo a precisão desejada.
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson com
e
, obtemos a aproximação: