Utilize o item (a) para encontrar um valor aproximado de raiz2 com x0=1.5 e varepsilon=10^-8.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar uma aproximação para √2 usando o método que foi citado no item (a). Isso envolve matemática de métodos numéricos, especificamente o método de iteração para encontrar raízes de funções. Vamos precisar começar com um chute inicial, que aqui é , e continuar refinando esse valor até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual função queremos resolver. Para encontrar √2, podemos pensar na equação . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde é a derivada de .

Passo 4

Calculando a derivada de f'(x) = 2x :
xn+1 = xn - xn^2 - 22xn = xn + 2xn2
Então, a fórmula fica:

Passo 5

Vamos começar com x1 = 1.5 + 21.52 = 1.5 + 132 = 282 = 1.416666 e aplicar a fórmula:

Passo 6

Agora, calculamos a diferença entre |x1 - x0| = |1.416666 - 1.5| = 0.083333 e :
Como 0.083333… > , precisamos continuar a iteração.

Passo 7

Calculando x2 = 1.416666 + 21.4166662 approx 1.416666 + 1.4117642 approx 1.4142157 :
|x2 - x1| approx |1.4142157 - 1.416666| approx 0.0024503
Diferença:
Ainda maior que , seguimos.

Passo 8

Continuamos esse processo, calculando e verificando a diferença a cada passo. Cada iteração nos aproxima mais de √2.

Passo 9

Após várias iterações, a diferença entre e será menor que , garantindo a precisão desejada.

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson com raiz2 approx 1.41421356 e , obtemos a aproximação:

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