Considerando agora g(x)=raizx, use seu código anterior para mostrar que
raizraizraizcdots raizraizraiza=1
para qualquer a>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função raizraizraizcdots raizraizraiza = 1 e quer que a gente mostre que, se aplicarmos essa função várias vezes seguidamente em um número maior que 1, o resultado vai chegar a 1. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções compostas e limites. A ideia é ver o que acontece quando aplicamos a raiz quadrada de forma infinita em um número maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma sequência onde cada termo é a raiz quadrada do termo anterior. Vamos chamar o primeiro termo de x1 = raizx0 = raiza . Então, a sequência fica assim:
x2 = raizx1 = raizraiza
x3 = raizx2 = raizraizraiza
vdots
Essa sequência continua indefinidamente. Nosso objetivo é encontrar o limite dessa sequência quando (o número de vezes que aplicamos a raiz quadrada) vai para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos supor que essa sequência converge para um número limn to infty xn = L . Isso significa que, à medida que aplicamos mais raízes quadradas, os termos L = raizL ficam cada vez mais próximos de . Matemáticamente, isso é escrito como:
Se a sequência converge para , então também podemos aplicar a função nesse limite:

Passo 4

Vamos resolver a equação L^2 = L . Para isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
L^2 - L = 0
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
L(L - 1) = 0
Fatorando:
L = 0 ou L = 1
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 5

Precisamos determinar qual dessas soluções faz sentido no contexto do nosso problema. Sabemos que x0 = a > 1 e, portanto, todos os termos da sequência x1 = raiza > 1 (porque a > 1) são maiores que 1:
x2 = raizraiza > 1
vdots
Como todos os termos são maiores que 1, a única solução que faz sentido é .

Resposta

Portanto, mostramos que:
raizraizraizcdots raizraizraiza = 1
para qualquer .

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