Considerando agora , use seu código anterior para mostrar que
para qualquer .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e quer que a gente mostre que, se aplicarmos essa função várias vezes seguidamente em um número maior que 1, o resultado vai chegar a 1. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções compostas e limites. A ideia é ver o que acontece quando aplicamos a raiz quadrada de forma infinita em um número maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma sequência onde cada termo é a raiz quadrada do termo anterior. Vamos chamar o primeiro termo de . Então, a sequência fica assim:
Essa sequência continua indefinidamente. Nosso objetivo é encontrar o limite dessa sequência quando (o número de vezes que aplicamos a raiz quadrada) vai para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos supor que essa sequência converge para um número . Isso significa que, à medida que aplicamos mais raízes quadradas, os termos ficam cada vez mais próximos de . Matemáticamente, isso é escrito como:
Se a sequência converge para , então também podemos aplicar a função nesse limite:

Passo 4

Vamos resolver a equação . Para isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 5

Precisamos determinar qual dessas soluções faz sentido no contexto do nosso problema. Sabemos que e, portanto, todos os termos da sequência são maiores que 1:
Como todos os termos são maiores que 1, a única solução que faz sentido é .

Resposta

Portanto, mostramos que:
para qualquer .

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Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(b)
Considere o problema de achar zero de uma função qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(b) Qual teoricamente converge mais rápido para a solução? Justifique sua resposta.
Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(d)