Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
integral x-9(x+5)(x-2) d x
Verificação

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a quebrar frações mais complicadas em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x - 9(x + 5)(x - 2) = Ax + 5 + Bx - 2 em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5) para eliminar as frações:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 4

Para encontrar 2 - 9 = A(2 - 2) + B(2 + 5) -7 = 0 + 7B B = -1 , escolhemos um valor de -5 - 9 = A(-5 - 2) + B(-5 + 5) -14 = -7A + 0 A = 2 que simplifique a equação. Vamos usar :
Agora, para encontrar , usamos :
Então, os valores são e .

Passo 5

Substituímos os valores de x - 9(x + 5)(x - 2) = 2x + 5 - 1x - 2 e de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x + 5 , dx - integral 1x - 2 , dx
Sabemos que 2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C , então aplicando isso:

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

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