Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e das regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica importante:
Essa identidade nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral original, temos:
Agora, podemos dividir a integral em duas partes separadas:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
A primeira integral,
, é uma das integrais básicas e sabemos que:
onde
é a constante de integração.
A segunda integral,
, é simplesmente:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração a cada parte:
Para a primeira parte:
Sabemos que
e
tende ao infinito, mas na prática, isso nos indica que a função
se aproxima de infinito quando
se aproxima de
.
Para a segunda parte:
Passo 6
No entanto, a primeira parte da integral,
, tende a infinito, mas nesse contexto, estamos interessados na diferença finita que resulta da operação completa da integral definida.
Na verdade, a função original
pode ser próxima de uma função que cresce sem limites perto de
, mas ao calcular a integral definida, obtemos um valor finito.
Vamos reavaliar a abordagem:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Como
tende a infinito, precisamos interpretar corretamente o resultado.
Na verdade, a integral
entre
e
é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente e não possui um valor finito.
Exercícios relacionados
Calculai o produto escalar
entre os vetores
e
abaixo.
b) e
.
b)
As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
b) .
b)
Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Verificação
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Verificação
Para os vetores
e vabaixo, encontrai as projeções
e
, assim como o ângulo
entre os vetores.
c) e
.
c)