Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
integralpi / 4^pi / 2 tg^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e das regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função tan^2(x) = sec^2(x) - 1 usando uma identidade trigonométrica importante:
Essa identidade nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral original, temos:
integralpi / 4^pi / 2 tan^2(x) , dx = integralpi / 4^pi / 2 (sec^2(x) - 1) , dx
Agora, podemos dividir a integral em duas partes separadas:
integralpi / 4^pi / 2 sec^2(x) , dx - integralpi / 4^pi / 2 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
A primeira integral, integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C , é uma das integrais básicas e sabemos que:
integral 1 , dx = x + C
onde é a constante de integração.
A segunda integral, , é simplesmente:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração a cada parte:
Para a primeira parte:
[ tan(x) ]pi / 4^pi / 2 = tan(pi2) - tan(pi4)
Sabemos que [ x ]pi / 4^pi / 2 = pi2 - pi4 = pi4 e tende ao infinito, mas na prática, isso nos indica que a função se aproxima de infinito quando se aproxima de .
Para a segunda parte:

Passo 6

No entanto, a primeira parte da integral, integral tan^2(x) , dx = tan(x) - x + C , tende a infinito, mas nesse contexto, estamos interessados na diferença finita que resulta da operação completa da integral definida.
Na verdade, a função original [ tan(x) - x ]pi / 4^pi / 2 = ( tan(pi2) - pi2 ) - ( tan(pi4) - pi4 ) pode ser próxima de uma função que cresce sem limites perto de , mas ao calcular a integral definida, obtemos um valor finito.
Vamos reavaliar a abordagem:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Como tende a infinito, precisamos interpretar corretamente o resultado.
Na verdade, a integral entre e é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente e não possui um valor finito.

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