Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
c) e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos dois vetores no espaço tridimensional:
O objetivo é encontrar:
  1. A projeção de sobre , denotada por .
  2. A projeção de sobre , denotada por .
  3. O ângulo entre os dois vetores.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar, norma dos vetores e fórmulas de projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores e . A norma de um vetor é dada por:
Para :
Para :

Passo 4

Vamos encontrar a projeção de sobre , que é dada por:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção de sobre :
Substituindo os valores:
Então,

Passo 6

Para encontrar o ângulo entre os dois vetores, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:

Resposta

As projeções e o ângulo entre os vetores são:

Exercícios relacionados

Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.

Verificação
Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.

Verificação