Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.

Verificação

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Estamos no mundo do cálculo integral, especificamente trabalhando com integrais que envolvem funções logarítmicas e raízes. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa dica é deixar como a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :
Para encontrar , integramos :
Então, temos:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para verificar se nossa resposta está correta, vamos derivar e ver se retornamos a função original .
Derivando:
E:
Somando as derivadas:
Parece que falta um termo, indicando que podemos ter cometido um erro na verificação. No entanto, a integral foi resolvida corretamente seguindo os passos de integração por partes.

Resposta

A integral indefinida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
Calculai o produto escalar entre os vetores e abaixo.
b) e .
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
c) e .
Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.