Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
integral xraiz1-4 x^2 d x
Verificação

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A gente vai usar o método de substituição (mudança de variável), que é um jeito de simplificar a integral mudando a expressão para algo mais fácil de calcular. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída por uma nova variável , torne a integral mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador u = 1 - 4x^2 , uma boa escolha é deixar igual a expressão dentro da raiz. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(1 - 4x^2) , dx = -8x , dx , que é a derivada de em relação a . Vamos fazer isso:

Passo 4

Vamos rearranjar essa expressão para encontrar du = -8x , dx implies x , dx = -18 du , que aparece na nossa integral original:

Passo 5

Agora, substituímos integral xraiz1-4 x^2 , dx = integral xraizu , dx = integral 1raizu (-18 du) = -18 integral u^-1/2 , du e na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral simplificada:
-18 integral u^-1/2 , du = -18 cdot ( u^1/21/2 ) + C = -18 cdot 2u^1/2 + C = -14 raizu + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original -14 raiz1 - 4x^2 + C substituindo :

Resposta

A integral F(x) = -14 raiz1 - 4x^2 + C é igual a F'(x) = -14 cdot 12 (1 - 4x^2)^-1/2 cdot (-8x) = 14 cdot 8x2raiz1 - 4x^2 = xraiz1 - 4x^2 , onde é a constante de integração.

Verificação

Vamos verificar se a função encontrada está correta tirando a derivada dela e vendo se retorna a função original da integral.
Função encontrada:
Derivando em relação a :
Como a derivada de retorna a função original da integral, nossa resposta está correta!

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