Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
integral e^cos (x) sen(x) d x
Verificação

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que facilita a integração quando identificamos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para substituir. Observando u = cos(x) e , percebemos que é a derivada de . Isso é uma pista para nossa substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar du = -sin(x) , dx em termos de - du = sin(x) , dx . Derivando ambos os lados da equação , temos:
Ou seja:

Passo 4

Substituímos integral e^cos(x) sin(x) , dx = integral e^u (-du) = -integral e^u , du e na nossa integral original:

Passo 5

A integral de -integral e^u , du = -e^u + C em relação a é bem direta:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos a substituir -e^u + C = -e^cos(x) + C por :

Passo 7

Para conferir se está tudo certo, vamos derivar a função que encontramos:
ddx[-e^cos(x) + C] = e^cos(x) sin(x)
Isso confirma que a nossa integral está correta.

Resposta

A integral é .

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