Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
integral 2 x^2-x-4x(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve integração de funções racionais, então vamos usar o método de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a fração em termos mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, identificamos o denominador 2x^2 - x - 4x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4 . Como o denominador é um produto de fatores lineares e quadráticos diferentes, vamos supor que a fração pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x^2 - x - 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
2x^2 - x - 4 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2x^2 - x - 4 = (A + B)x^2 + Cx + 4A
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 2 C = -1 4A = -4

Passo 5

Resolvemos o sistema:
  1. Da terceira equação: , então .
  2. Da primeira equação: , então .
  3. Já sabemos que .
Então, , e .

Passo 6

Substituímos 2x^2 - x - 4x(x^2 + 4) = -1x + 3x - 1x^2 + 4 , e na decomposição:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integral da fração decompor:
integral -1x , dx + integral 3x - 1x^2 + 4 , dx
Integrando o primeiro termo:
- integral 1x , dx = -ln|x|

Passo 8

Para o segundo termo, vamos separar em duas integrais:
integral 3xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx
Primeira parte: 32 integral 2xx^2 + 4 , dx = 32 ln|x^2 + 4| , então integral 1x^2 + 4 , dx = 12 tan^-1(x2) . Ajustando, temos:
Segunda parte: sabemos que . Aqui, , então:

Passo 9

Juntando tudo:
-ln|x| + 32 ln|x^2 + 4| - 12 tan^-1(x2) + C

Resposta

integral 2x^2 - x - 4x(x^2 + 4) , dx = -ln|x| + 32 ln|x^2 + 4| - 12 tan^-1(x2) + C

Exercícios relacionados