Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve integração de funções racionais, então vamos usar o método de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a fração em termos mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, identificamos o denominador . Como o denominador é um produto de fatores lineares e quadráticos diferentes, vamos supor que a fração pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Resolvemos o sistema:
Da terceira equação: , então .
Da primeira equação: , então .
Já sabemos que .
Então, , e .
Passo 6
Substituímos , e na decomposição:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integral da fração decompor:
Integrando o primeiro termo:
Passo 8
Para o segundo termo, vamos separar em duas integrais: