Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
integral x cdot e^-2 x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente ao método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher e da nossa integral :
  • (pois ao derivar vai simplificar)

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = dx e v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x :
  • Derivando :
  • Integrando :
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot e^-2x dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot dx
Simplificando:
= -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x dx

Passo 5

Vamos agora calcular a integral que ficou:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x
Então, substituindo de volta:
-12 x e^-2x + 12 (-12 e^-2x)
Simplificando mais:
-12 x e^-2x - 14 e^-2x

Passo 6

Finalmente, juntando tudo e adicionando a constante de integração integral x cdot e^-2x dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C :
= -e^-2x ( 12 x + 14 ) + C
Fatorando :

Resposta

integral x cdot e^-2x dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C

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