Utilize o Método de Jacobi para obter a solução do sistema linear a seguir com 4 iterações, utilizando para tanto 3 c.d.c.
l 10 x1+x2-x3=10 x1+10 x2+x3=12 2 x1-x2+10 x3=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Jacobi. A gente tem três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). O conteúdo aqui é álgebra linear, especificamente métodos iterativos para resolver sistemas lineares. Vamos precisar isolar cada variável em cada equação e fazer algumas iterações para chegar à solução aproximada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação isolando cada variável:
x1 = 10 - x2 + x310 x2 = 12 - x1 - x310 x3 = 11 - 2x1 + x210
Isso é importante porque no Método de Jacobi, usamos os valores das variáveis da iteração anterior para calcular as novas.

Passo 3

Escolhemos chutes iniciais para as variáveis. Uma boa prática é começar com zero:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Esses são nossos valores iniciais para começar as iterações.

Passo 4

Agora, vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais:
x1^(1) = 10 - x2^(0) + x3^(0)10 = 10 - 0 + 010 = 1.000 x2^(1) = 12 - x1^(0) - x3^(0)10 = 12 - 0 - 010 = 1.200 x3^(1) = 11 - 2x1^(0) + x2^(0)10 = 11 - 0 + 010 = 1.100

Passo 5

Vamos para a segunda iteração usando os valores da primeira iteração:
x1^(2) = 10 - x2^(1) + x3^(1)10 = 10 - 1.200 + 1.10010 = 0.990 x2^(2) = 12 - x1^(1) - x3^(1)10 = 12 - 1.000 - 1.10010 = 0.990 x3^(2) = 11 - 2x1^(1) + x2^(1)10 = 11 - 2(1.000) + 1.20010 = 0.920

Passo 6

Terceira iteração usando os valores da segunda iteração:
x1^(3) = 10 - x2^(2) + x3^(2)10 = 10 - 0.990 + 0.92010 = 0.993 x2^(3) = 12 - x1^(2) - x3^(2)10 = 12 - 0.990 - 0.92010 = 1.019 x3^(3) = 11 - 2x1^(2) + x2^(2)10 = 11 - 2(0.990) + 0.99010 = 0.920

Passo 7

Quarta iteração usando os valores da terceira iteração:
x1^(4) = 10 - x2^(3) + x3^(3)10 = 10 - 1.019 + 0.92010 = 0.990 x2^(4) = 12 - x1^(3) - x3^(3)10 = 12 - 0.993 - 0.92010 = 1.019 x3^(4) = 11 - 2x1^(3) + x2^(3)10 = 11 - 2(0.993) + 1.01910 = 0.920

Resposta

Após 4 iterações usando o Método de Jacobi, a solução aproximada do sistema é:
x1 = 0.990, x2 = 1.019, x3 = 0.920

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