Use o método da bissecção para calcular a raiz de:
a) em com precisão .
b) em com precisão .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício usando o método da bissecção! Primeiro, a gente tem duas funções para achar as raízes no intervalo entre 1 e 2. No item a), a função é e a precisão que queremos é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção, definir nosso intervalo inicial, e seguir os passos para encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 2
Entendendo o Método da Bissecção
O método da bissecção é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é simples: se você tem uma função contínua em um intervalo onde e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
O método funciona da seguinte maneira:
Calcula-se o ponto médio .
Avalia-se .
Verifica-se o sinal de :
Se , então a raiz está no intervalo .
Se , então a raiz está no intervalo .
Repete-se o processo no novo intervalo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada .
Passo 3
Aplicando o Método da Bissecção no Item a)
Vamos aplicar isso na função no intervalo com precisão .
Verificando os Sinais Inicialmente:
Calcula-se .
Calcula-se .
Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
Primeira Iteração:
Calcula-se o ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
Segunda Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
Terceira Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.375 e 1.5.
Quarta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.4375 e 1.5.
Quinta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.4375 e 1.46875.
Verificando a Precisão:
A largura do intervalo atual é .
Como (a precisão desejada), precisamos de mais uma iteração.
Sexta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.453125 e 1.46875.
A largura do intervalo agora é .
Ainda maior que , então precisamos de mais uma iteração.
Sétima Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.453125 e 1.4609375.
A largura do intervalo agora é , que é menor que .
Passo 4
Agora, vamos para o item b): encontrar a raiz da função no intervalo com precisão . Continuaremos usando o método da bissecção, então já sabemos o que precisamos fazer: verificar os sinais nos extremos do intervalo, calcular os pontos médios, e ir reduzindo o intervalo até alcançar a precisão desejada.
Passo 5
Aplicando o Método da Bissecção no Item b)
Vamos seguir os passos do método da bissecção para a função .
Verificando os Sinais Inicialmente:
Calcula-se .
Calcula-se .
Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
Primeira Iteração:
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
Segunda Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
Terceira Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.25 e 1.375.
Quarta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3125 e 1.375.
Quinta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.34375.
Sexta Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.328125.
Sétima Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3203125 e 1.328125.
A largura do intervalo é , que é menor que . Porém, para garantir a precisão, vamos continuar até que a largura seja menor que .
Oitava Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.328125.
A largura do intervalo agora é , ainda acima da precisão.
Nona Iteração:
Novo intervalo: .
Ponto médio: .
Avalia-se .
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.326171875.
A largura do intervalo é , que é menor que .
Resposta
A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .