Use o método da bissecção para calcular a raiz de:
a) em com precisão .
b) em com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício usando o método da bissecção! Primeiro, a gente tem duas funções para achar as raízes no intervalo entre 1 e 2. No item a), a função é e a precisão que queremos é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção, definir nosso intervalo inicial, e seguir os passos para encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 2

Entendendo o Método da Bissecção
O método da bissecção é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é simples: se você tem uma função contínua em um intervalo onde e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
O método funciona da seguinte maneira:
  1. Calcula-se o ponto médio .
  2. Avalia-se .
  3. Verifica-se o sinal de :
    • Se , então a raiz está no intervalo .
    • Se , então a raiz está no intervalo .
  4. Repete-se o processo no novo intervalo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada .

Passo 3

Aplicando o Método da Bissecção no Item a)
Vamos aplicar isso na função no intervalo com precisão .
  1. Verificando os Sinais Inicialmente:
    • Calcula-se .
    • Calcula-se .
    • Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
  2. Primeira Iteração:
    • Calcula-se o ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
  3. Segunda Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
  4. Terceira Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.375 e 1.5.
  5. Quarta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.4375 e 1.5.
  6. Quinta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.4375 e 1.46875.
  7. Verificando a Precisão:
    • A largura do intervalo atual é .
    • Como (a precisão desejada), precisamos de mais uma iteração.
  8. Sexta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.453125 e 1.46875.
    • A largura do intervalo agora é .
    • Ainda maior que , então precisamos de mais uma iteração.
  9. Sétima Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.453125 e 1.4609375.
    • A largura do intervalo agora é , que é menor que .

Passo 4

Agora, vamos para o item b): encontrar a raiz da função no intervalo com precisão . Continuaremos usando o método da bissecção, então já sabemos o que precisamos fazer: verificar os sinais nos extremos do intervalo, calcular os pontos médios, e ir reduzindo o intervalo até alcançar a precisão desejada.

Passo 5

Aplicando o Método da Bissecção no Item b)
Vamos seguir os passos do método da bissecção para a função .
  1. Verificando os Sinais Inicialmente:
    • Calcula-se .
    • Calcula-se .
    • Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
  2. Primeira Iteração:
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
  3. Segunda Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
  4. Terceira Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.25 e 1.375.
  5. Quarta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3125 e 1.375.
  6. Quinta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.34375.
  7. Sexta Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.328125.
  8. Sétima Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3203125 e 1.328125.
    • A largura do intervalo é , que é menor que . Porém, para garantir a precisão, vamos continuar até que a largura seja menor que .
  9. Oitava Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.328125.
    • A largura do intervalo agora é , ainda acima da precisão.
  10. Nona Iteração:
    • Novo intervalo: .
    • Ponto médio: .
    • Avalia-se .
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.326171875.
    • A largura do intervalo é , que é menor que .

Resposta

A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o sistema operacional e responda os itens a seguir:
a) Quantos números podem ser representados em F?
b) Escreva o maior e o menor número que pode ser representado em F .
c) Escreva o maior e o menor número em valor absoluto (módulo) que pode ser representado em F.
Utilize o Método de Gauss-Seidel para obter a solução do sistema linear a seguir com 4 iterações, utilizando para tanto 3 c.d.c.
Com o método da secante, calcule a raiz de cada função abaixo, se possível.
a) em com 4 c.d.c
b) em com 3 c.d.c
Utilize o Método de Jacobi para obter a solução do sistema linear a seguir com 4 iterações, utilizando para tanto 3 c.d.c.