Use o método da bissecção para calcular a raiz de:
a)
em
com precisão
.
b)
em
com precisão
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício usando o método da bissecção! Primeiro, a gente tem duas funções para achar as raízes no intervalo entre 1 e 2. No item a), a função é
e a precisão que queremos é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da bissecção, definir nosso intervalo inicial, e seguir os passos para encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 2
Entendendo o Método da Bissecção
O método da bissecção é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é simples: se você tem uma função contínua
em um intervalo
onde
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
O método funciona da seguinte maneira:
- Calcula-se o ponto médio
. - Avalia-se
. - Verifica-se o sinal de
: - Se
, então a raiz está no intervalo . - Se
, então a raiz está no intervalo .
- Se
- Repete-se o processo no novo intervalo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada
.
Passo 3
Aplicando o Método da Bissecção no Item a)
Vamos aplicar isso na função
no intervalo
com precisão
.
-
Verificando os Sinais Inicialmente:
- Calcula-se
. - Calcula-se
. - Como
é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
- Calcula-se
-
Primeira Iteração:
- Calcula-se o ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
- Calcula-se o ponto médio:
-
Segunda Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
- Novo intervalo:
-
Terceira Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.375 e 1.5.
- Novo intervalo:
-
Quarta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.4375 e 1.5.
- Novo intervalo:
-
Quinta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.4375 e 1.46875.
- Novo intervalo:
-
Verificando a Precisão:
- A largura do intervalo atual é
. - Como
(a precisão desejada), precisamos de mais uma iteração.
- A largura do intervalo atual é
-
Sexta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.453125 e 1.46875. - A largura do intervalo agora é
. - Ainda maior que
, então precisamos de mais uma iteração.
- Novo intervalo:
-
Sétima Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.453125 e 1.4609375. - A largura do intervalo agora é
, que é menor que .
- Novo intervalo:
Passo 4
Agora, vamos para o item b): encontrar a raiz da função
no intervalo
com precisão
. Continuaremos usando o método da bissecção, então já sabemos o que precisamos fazer: verificar os sinais nos extremos do intervalo, calcular os pontos médios, e ir reduzindo o intervalo até alcançar a precisão desejada.
Passo 5
Aplicando o Método da Bissecção no Item b)
Vamos seguir os passos do método da bissecção para a função
.
-
Verificando os Sinais Inicialmente:
- Calcula-se
. - Calcula-se
. - Como
é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
- Calcula-se
-
Primeira Iteração:
- Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5.
- Ponto médio:
-
Segunda Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
- Novo intervalo:
-
Terceira Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.25 e 1.375.
- Novo intervalo:
-
Quarta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3125 e 1.375.
- Novo intervalo:
-
Quinta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.34375.
- Novo intervalo:
-
Sexta Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.3125 e 1.328125.
- Novo intervalo:
-
Sétima Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.3203125 e 1.328125. - A largura do intervalo é
, que é menor que . Porém, para garantir a precisão, vamos continuar até que a largura seja menor que .
- Novo intervalo:
-
Oitava Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.328125. - A largura do intervalo agora é
, ainda acima da precisão.
- Novo intervalo:
-
Nona Iteração:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
. - Avalia-se
. - Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.32421875 e 1.326171875. - A largura do intervalo é
, que é menor que .
- Novo intervalo:
Resposta
A raiz da função
no intervalo
com precisão
é aproximadamente
.