Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
integral 2x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observamos que no denominador temos , que é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a dudx = 1x implies du = 1x dx , temos:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de dx = x , du . Sabemos que dx = e^u , du , então podemos rearranjar para encontrar :
Mas como , temos . Substituindo:

Passo 6

Substituindo integral 2x ln(x) dx = integral 2e^u cdot u cdot e^u , du = integral 2u du e na integral original:
Aqui, simplificamos .

Passo 7

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 2u du = 2 integral 1u du = 2 ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos 2 ln|ln(x)| + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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