Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
integral sec ^2(x) cdot tg^3(x) d x

Passo 1

Beleza, temos uma integral para resolver: . Isso cai no conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica usada para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituirmos por uma nova variável, facilite a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para a nossa integral, percebemos que u = tan(x) é a derivada de . Isso nos dá uma pista!
Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = sec^2(x) em relação a du = sec^2(x) , dx :

Passo 4

Com essa substituição, conseguimos reescrever a integral original em termos de integral sec^2(x) cdot tan^3(x) , dx = integral u^3 , du :

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples! Vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original substituindo u^44 + C = tan^4(x)4 + C :

Resposta

A integral tan^4(x)4 + C é igual a:

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