Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se a, b in R então as seguintes igualdades são verdadeiras:
(b) (ab)^n = a^n b^n, onde n é um número inteiro qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se tivermos dois números reais e , então , onde é qualquer número inteiro. Isso envolve entender as propriedades da adição e multiplicação, especialmente como as potências funcionam. Vamos precisar lembrar como as potências são definidas e como elas interagem com a multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa elevar um número a uma potência. Quando a gente tem algo como , isso quer dizer que estamos multiplicando por ele mesmo vezes. Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar por ele mesmo vezes:

Passo 4

Vamos distribuir essa multiplicação usando a propriedade comutativa e associativa da multiplicação, que nos permite rearranjar e agrupar os fatores como quisermos. Então, podemos reescrever a expressão assim:
Isso porque estamos multiplicando por ele mesmo vezes e por ele mesmo vezes, separadamente.

Passo 5

Portanto, vimos que ao multiplicar e juntos e elevar o resultado à potência , é o mesmo que elevar à potência e à potência separadamente, e depois multiplicar esses dois resultados.

Resposta

Assim, mostramos que para quaisquer números reais e , e qualquer inteiro .

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