Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se
então as seguintes igualdades são verdadeiras:
(b)
, onde
é um número inteiro qualquer.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se tivermos dois números reais
e
, então
, onde
é qualquer número inteiro. Isso envolve entender as propriedades da adição e multiplicação, especialmente como as potências funcionam. Vamos precisar lembrar como as potências são definidas e como elas interagem com a multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa elevar um número a uma potência. Quando a gente tem algo como
, isso quer dizer que estamos multiplicando
por ele mesmo
vezes. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Segundo a definição de potência, isso significa multiplicar
por ele mesmo
vezes:
Passo 4
Vamos distribuir essa multiplicação usando a propriedade comutativa e associativa da multiplicação, que nos permite rearranjar e agrupar os fatores como quisermos. Então, podemos reescrever a expressão assim:
Isso porque estamos multiplicando
por ele mesmo
vezes e
por ele mesmo
vezes, separadamente.
Passo 5
Portanto, vimos que ao multiplicar
e
juntos e elevar o resultado à potência
, é o mesmo que elevar
à potência
e
à potência
separadamente, e depois multiplicar esses dois resultados.
Resposta
Assim, mostramos que
para quaisquer números reais
e
, e qualquer inteiro
.
Exercícios relacionados
Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações:
(b) .
(b)
Explique a origem de cada tipo de número: natural, racional positivo, real positivo, e negativo.
Faça um esboço, no plano cartesiano, da região
, em cada caso abaixo:
(a) e
.
(a)
Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações:
(d) Se e
então
.
(d) Se