Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se a, b in R então as seguintes igualdades são verdadeiras:
(h) a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3).

Passo 1

Beleza! A gente vai verificar uma igualdade envolvendo potências e propriedades de adição e multiplicação. O enunciado diz que, para números reais e , a seguinte igualdade é verdadeira:
Vamos utilizar propriedades de fatoração e manipulação algébrica para provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma diferença de potências. Sabemos que a diferença de quadrados, , pode ser fatorada como . Porém, aqui temos uma potência maior, então precisamos aplicar uma técnica similar.

Passo 3

Podemos escrever como:
Agora, aplicando a propriedade da diferença de quadrados:
Então:

Passo 4

Vamos focar na parte que ainda pode ser fatorada. Aplicando novamente a diferença de quadrados:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a expressão que queremos provar, , é equivalente a .
Vamos expandir :
Organizando os termos:
Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:

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