Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se a, b in R então as seguintes igualdades são verdadeiras:
(i) a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b + ... + a*b^(n-2) + b^(n-1)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, para quaisquer números reais e , a diferença das potências pode ser fatorada como multiplicado por uma soma específica de termos envolvendo potências de e . Para isso, vamos usar as propriedades de adição e multiplicação, especialmente a fatoração de expressões polinomiais.

Passo 2

Vamos começar expandindo o produto do lado direito da igualdade para verificar se ele resulta em . O lado direito é:

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicamos e por cada termo dentro dos parênteses:

Passo 4

Simplificando cada termo, temos:
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Resposta

Portanto, verificamos que:

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