Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se
então as seguintes igualdades são verdadeiras:
(i)
.
(i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, para quaisquer números reais
e
, a diferença das potências
pode ser fatorada como
multiplicado por uma soma específica de termos envolvendo potências de
e
. Para isso, vamos usar as propriedades de adição e multiplicação, especialmente a fatoração de expressões polinomiais.
Passo 2
Vamos começar expandindo o produto do lado direito da igualdade para verificar se ele resulta em
. O lado direito é:
Passo 3
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicamos
e
por cada termo dentro dos parênteses:
Passo 4
Simplificando cada termo, temos:
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Resposta
Portanto, verificamos que: