Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t. z=sin x tan y, x=3 s+t, y=s-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função que temos é , onde e . Então, vamos precisar lembrar como funciona a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Temos em termos de e , e e em termos de e . A regra da cadeia nos diz que, para derivar em relação a ou , precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a ou .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de partial zpartial x = partialpartial x (sin x tan y) = cos x tan y em relação a partial zpartial y = partialpartial y (sin x tan y) = sin x cdot sec^2 y e :
Aqui, usamos as derivadas básicas de e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial s = partialpartial s (3s + t) = 3 e partial xpartial t = partialpartial t (3s + t) = 1 em relação a partial ypartial s = partialpartial s (s - t) = 1 e partial ypartial t = partialpartial t (s - t) = -1 :

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial s = (cos x tan y) cdot 3 + (sin x sec^2 y) cdot 1
partial zpartial t = (cos x tan y) cdot 1 + (sin x sec^2 y) cdot (-1)
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 3 cos(3s + t) tan(s - t) + sin(3s + t) sec^2(s - t)
partial zpartial t = cos(3s + t) tan(s - t) - sin(3s + t) sec^2(s - t)

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