Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = -1/2 * (x - c)^3 + 4 para c = 0, 1, -2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar simetrias, transformações horizontais e verticais, além de reflexões para esboçar os gráficos da função para valores de . Vamos precisar entender como aplicar essas transformações em funções polinomiais, especificamente cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função básica envolvida aqui. A função é uma função cúbica que tem uma forma característica: passa pela origem (0,0), e é simétrica em relação à origem, o que significa que se você girar o gráfico 180 graus em torno da origem, ele fica igual.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Temos algumas transformações acontecendo aqui:
  1. Translação Horizontal: O termo indica que o gráfico da função está sendo deslocado horizontalmente. Se for positivo, o gráfico se move para a direita; se for negativo, move para a esquerda.
  2. Escala Vertical: O coeficiente dentro da função indica que o gráfico está sendo comprimido verticalmente pela metade.
  3. Reflexão: O sinal negativo antes da função indica que o gráfico está sendo refletido em relação ao eixo x.
  4. Translação Vertical: O “+ 4” no final da função desloca o gráfico 4 unidades para cima.

Passo 4

Vamos aplicar essas transformações para cada valor de :

Para :

  1. Função Base:
  2. Reflexão e Escala Vertical:
  3. Translação Vertical:
Gráfico: O gráfico de será uma versão refletida e comprimida verticalmente da função cúbica básica, deslocada 4 unidades para cima.

Para :

  1. Função Base: — desloca o gráfico 1 unidade para a direita.
  2. Reflexão e Escala Vertical:
  3. Translação Vertical:
Gráfico: Similar ao caso anterior, mas agora o ponto de inflexão está 1 unidade à direita do origin, ainda refletido, comprimido e deslocado para cima.

Para :

  1. Função Base: — desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda.
  2. Reflexão e Escala Vertical:
  3. Translação Vertical:
Gráfico: Novamente, semelhante aos casos anteriores, mas o ponto de inflexão está 2 unidades à esquerda do origin, com as mesmas reflexões e compressores.

Resposta

Ao aplicar simetrias, reflexões, escalas e translações, obtemos os gráficos das funções para , cada um deslocado horizontalmente conforme o valor de , refletido e comprimido verticalmente, e todos elevados 4 unidades no eixo y.

Exercícios relacionados

Determine o domínio de:
y = log2(x - raiz(x)).
Esboce o gráfico de:
f(x)=(x+1)²+3.
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = ln(x + c) para c = 0, 1, -2.
Encontre o domínio de:
h(x) = ln(x^x).