Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar simetrias, transformações horizontais e verticais, além de reflexões para esboçar os gráficos da função
para valores de
. Vamos precisar entender como aplicar essas transformações em funções polinomiais, especificamente cúbicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função básica envolvida aqui. A função
é uma função cúbica que tem uma forma característica: passa pela origem (0,0), e é simétrica em relação à origem, o que significa que se você girar o gráfico 180 graus em torno da origem, ele fica igual.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. Temos algumas transformações acontecendo aqui:
-
Translação Horizontal: O termo
indica que o gráfico da função está sendo deslocado horizontalmente. Se for positivo, o gráfico se move para a direita; se for negativo, move para a esquerda. -
Escala Vertical: O coeficiente
dentro da função indica que o gráfico está sendo comprimido verticalmente pela metade. -
Reflexão: O sinal negativo
antes da função indica que o gráfico está sendo refletido em relação ao eixo x. -
Translação Vertical: O “+ 4” no final da função desloca o gráfico 4 unidades para cima.
Passo 4
Vamos aplicar essas transformações para cada valor de
:
Para
:
- Função Base:
- Reflexão e Escala Vertical:
- Translação Vertical:
Gráfico: O gráfico de
será uma versão refletida e comprimida verticalmente da função cúbica básica, deslocada 4 unidades para cima.
Para
:
- Função Base:
— desloca o gráfico 1 unidade para a direita. - Reflexão e Escala Vertical:
- Translação Vertical:
Gráfico: Similar ao caso anterior, mas agora o ponto de inflexão está 1 unidade à direita do origin, ainda refletido, comprimido e deslocado para cima.
Para
:
- Função Base:
— desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda. - Reflexão e Escala Vertical:
- Translação Vertical:
Gráfico: Novamente, semelhante aos casos anteriores, mas o ponto de inflexão está 2 unidades à esquerda do origin, com as mesmas reflexões e compressores.
Resposta
Ao aplicar simetrias, reflexões, escalas e translações, obtemos os gráficos das funções
para
, cada um deslocado horizontalmente conforme o valor de
, refletido e comprimido verticalmente, e todos elevados 4 unidades no eixo y.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de:
.
Esboce o gráfico de:
.
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Encontre o domínio de:
.