Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar simetrias, transformações verticais e horizontais, além de reflexões para desenhar os gráficos da função
para os valores de
. Isso envolve entender como alterações no parâmetro
afetam o gráfico do logaritmo natural. Vamos precisar conhecer as propriedades básicas do gráfico da função logarítmica e como aplicar transformações para ajustar o gráfico conforme os diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico básico da função
. O gráfico do ln(x) passa pelo ponto (1, 0), tem uma assíntota vertical em
e cresce lentamente à medida que
aumenta. Ele não está definido para
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando adicionamos o termo
dentro do logaritmo, ou seja, consideramos
. Esse
vai afetar a posição horizontal do gráfico.
- Se
, isso vai deslocar o gráfico para a esquerda. - Se
, o gráfico se desloca para a direita. - Se
, o gráfico permanece no lugar original.
Isso ocorre porque o termo
dentro do logaritmo adiciona ou subtrai do valor de
, mudando assim onde o gráfico começa (a assíntota vertical).
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: - A função é
. - Gráfico básico, sem deslocamento.
- Assíntota vertical em
.
- A função é
-
Para
: - A função é
. - Isso desloca o gráfico 1 unidade para a esquerda.
- Assíntota vertical passa a ser em
.
- A função é
-
Para
: - A função é
. - Aqui, deslocamos o gráfico 2 unidades para a direita.
- Assíntota vertical passa a ser em
.
- A função é
Passo 5
Vamos resumir os deslocamentos:
-
: Sem deslocamento, assíntota em . -
: Desloca 1 unidade para a esquerda, assíntota em . -
: Desloca 2 unidades para a direita, assíntota em .
Isso significa que, para cada valor de
, o gráfico do logaritmo natural será movido horizontalmente conforme descrito, mantendo a mesma forma básica.
Resposta
Resumindo, ao aplicar as transformações horizontais com
na função
, obtemos:
- Para
: Gráfico padrão de com assíntota em . - Para
: Gráfico deslocado 1 unidade para a esquerda, assíntota em . - Para
: Gráfico deslocado 2 unidades para a direita, assíntota em .
Dessa forma, desenhando cada gráfico com os deslocamentos apropriados, conseguimos esboçar os gráficos de
para os valores de
dados.
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para
.
Determine o domínio de:
.
Encontre o domínio de:
.
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para
.