Utilize o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, em que F(x, y, z)=(3 y, 4 z,-6 x) e C é a curva de fronteira do parabolóide z=9-x^2-y^2 com z >= 0 com orientação ascendente (observe que a curva de fronteira está exatamente sobre o plano xy).
& -27 pi & 27 pi & -9 pi & 9 pi & -3 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é F(x, y, z) = (3y, 4z, -6x). A curva C é a fronteira do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 onde z >= 0, e está no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional de F.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partial (-6x)partial y = 0
  • partial Fypartial z = partial (4z)partial z = 4
  • partial Fxpartial z = partial (3y)partial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (-6x)partial x = -6
  • partial Fypartial x = partial (4z)partial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial (3y)partial y = 3
Então,
nabla times F = (0 - 4, 0 - (-6), 0 - 3) = (-4, 6, -3)

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Stokes, temos:
integralC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde S é uma superfície limitada por C e n é o vetor normal à superfície. Vamos escolher S como a parte do plano xy que está dentro da curva C. Isso simplifica a integral porque o plano xy tem normal na direção do eixo z, ou seja, n = (0, 0, 1).

Passo 4

Com a escolha da superfície S no plano xy, a integral se torna:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-4, 6, -3) cdot (0, 0, 1) , dS = integral duplaS (-3) , dS
Então, precisamos calcular -3 vezes a área da superfície S.

Passo 5

A curva C é a fronteira do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 com z >= 0, o que significa que no plano xy, a curva C é o círculo x^2 + y^2 = 9. A área de um círculo de raio r é pi r^2, então aqui r = 3, e a área é 9pi.

Passo 6

Agora, multiplicamos a área pela constante da integral:
-3 times 9pi = -27pi

Resposta

-27 pi

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