Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados. e é a região limitada pela elipse .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o teorema da divergência de Gauss e o teorema de Stokes no plano para o campo vetorial e a região limitada pela elipse . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência, rotacional, integrais de superfície e de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Onde , então e . Calculando as derivadas:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla da divergência sobre a região . A integral dupla é:
Para facilitar, vamos usar coordenadas elípticas. A equação da elipse é , que pode ser reescrita como:
Fazendo a substituição:
Onde e . O elemento de área em coordenadas elípticas é:
Onde é o determinante jacobiano:
Então,
Agora, substituindo e na divergência:
A integral fica:
Simplificando:
Integrando em :
Integrando em :
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o teorema da divergência de Gauss. Pelo teorema, temos que:
Já calculamos a integral dupla e ela deu zero. Portanto, a integral de superfície também deve ser zero.
Passo 5
Para verificar o teorema de Stokes no plano, lembramos que no plano, o rotacional é dado por:
Calculando:
Então,
A integral de superfície do rotacional é:
Pelo teorema de Stokes, isso deve ser igual à integral de contorno:
Resposta
Ambos os teoremas da divergência de Gauss e de Stokes são verificados para o campo vetorial na região delimitada pela elipse , já que ambas as integrais calcularam-se como zero.