Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para F e D dados.
F(x, y) = x^2 i + y^2 j e D é a região limitada pela elipse 4 x^2 + 25 y^2 = 100.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o teorema da divergência de Gauss e o teorema de Stokes no plano para o campo vetorial e a região D limitada pela elipse . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência, rotacional, integrais de superfície e de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
Onde , então e . Calculando as derivadas:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla da divergência sobre a região D. A integral dupla é:
Para facilitar, vamos usar coordenadas elípticas. A equação da elipse é , que pode ser reescrita como:
Fazendo a substituição:
Onde e . O elemento de área em coordenadas elípticas é:
Onde J é o determinante jacobiano:
Então,
Agora, substituindo x e y na divergência:
A integral fica:
Simplificando:
Integrando em r:
Integrando em theta:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o teorema da divergência de Gauss. Pelo teorema, temos que:
Já calculamos a integral dupla e ela deu zero. Portanto, a integral de superfície também deve ser zero.

Passo 5

Para verificar o teorema de Stokes no plano, lembramos que no plano, o rotacional é dado por:
Calculando:
Então,
A integral de superfície do rotacional é:
Pelo teorema de Stokes, isso deve ser igual à integral de contorno:

Resposta

Ambos os teoremas da divergência de Gauss e de Stokes são verificados para o campo vetorial na região delimitada pela elipse , já que ambas as integrais calcularam-se como zero.

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