Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelos gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teorema de Green para encontrar a área da região que fica entre as curvas e . O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa da matemática que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região que esse caminho delimita. Para calcular a área, vamos precisar entender como aplicar esse teorema especificamente para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para saber os limites da nossa região. Precisamos resolver :
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos esboçar rapidamente as curvas para visualizar a região. A parábola começa em (0,0) e sobe para cima, enquanto a raiz quadrada também começa em (0,0) mas cresce mais lentamente inicialmente e depois acelera. Entre e , está acima de .

Passo 4

Para usar o Teorema de Green para calcular a área, podemos usar a fórmula:
Á
onde é o caminho fechado que delimita a região. Essa fórmula é uma aplicação específica do Teorema de Green para encontrar áreas.

Passo 5

Vamos parametrizar nosso caminho em duas partes: de a ao longo de , e de a ao longo de .
Primeira parte ( ):
Segunda parte ( ):

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Para a parte de de a :
Para a parte de de a :

Passo 7

Somando as duas integrais para obter a área total:
Á
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em e .
Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados.
e é a região limitada pela circunferência .
Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados.
e é a região limitada pela elipse .
Calcule a transformada de Laplace de:
(a)