Utilize o Teorema de Green para calcular a (verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
é a circunferência orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva , que é uma circunferência com centro em e raio . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região interna dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a orientação da curva . O enunciado diz que a circunferência está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva. Isso é importante porque o Teorema de Green só funciona diretamente com curvas orientadas positivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que:
Onde e é a região delimitada pela curva .

Passo 4

Identificando e da função vetorial :
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região . Como é uma circunferência com raio , a área dela é:
Á

Passo 7

Multiplicando a constante da integral dupla pela área de :

Resposta

A integral vale .

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A posição de uma partícula no plano , no tempo , é dada por .
a) Escrever a função vetorial que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em ?
Encontre o limite ou mostre que não existe.
Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional .
Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada por um arco do cicloide .