Utilize o Teorema de Green para calcular a
(verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
é a circunferência
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
, que é uma circunferência com centro em
e raio
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região interna dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a orientação da curva
. O enunciado diz que a circunferência está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva. Isso é importante porque o Teorema de Green só funciona diretamente com curvas orientadas positivamente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que:
Onde
e
é a região delimitada pela curva
.
Passo 4
Identificando
e
da função vetorial
:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
. Como
é uma circunferência com raio
, a área dela é:
Passo 7
Multiplicando a constante da integral dupla pela área de
:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula no plano
, no tempo
, é dada por
.
a) Escrever a função vetorial que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em ?
a) Escrever a função vetorial
b) Onde se encontrará a partícula em
Encontre o limite ou mostre que não existe.
Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões
abaixo.
é delimitada por um arco do cicloide
.