Utilize o Teorema de Green para calcular a integralC F cdot d r (verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
F(x, y)=(6 y+x, y+2 x), C é a circunferência (x-2)^2+(y-3)^2=4 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de linha da função vetorial F(x, y) = (6y + x, y + 2x) ao longo da curva C, que é uma circunferência com centro em (2, 3) e raio 2. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região interna dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a orientação da curva C. O enunciado diz que a circunferência está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação positiva. Isso é importante porque o Teorema de Green só funciona diretamente com curvas orientadas positivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde F = (P, Q) e D é a região delimitada pela curva C.

Passo 4

Identificando P e Q da função vetorial F:
P(x, y) = 6y + x Q(x, y) = y + 2x
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(y + 2x) = 2 partial Ppartial y = partialpartial y(6y + x) = 6

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = integral duplaD (2 - 6) , dx , dy = integral duplaD (-4) , dx , dy

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D. Como D é uma circunferência com raio 2, a área dela é:
Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi Á

Passo 7

Multiplicando a constante da integral dupla pela área de D:
integral duplaD (-4) , dx , dy = -4 times 4pi = -16pi

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale -16pi.

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