Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC sen(z)(z-pi / 2)^3 d z, onde C é qualquer curva simples, fechada tendo pi / 2 como ponto interior

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o teorema dos resíduos. O enunciado pede para calcular a integral de ointC sin(z)(z - pi/2)^3 dz, onde C é uma curva fechada que envolve o ponto pi/2. Para isso, vamos precisar entender resíduos de funções complexas, especialmente em torno de pontos singulares de ordem maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde está a singularidade da função que estamos integrando. A função sin(z)(z - pi/2)^3 tem um ponto onde o denominador se anula, ou seja, quando z = pi/2. Esse ponto é chamado de polo. Como o denominador está elevado ao cubo, temos um polo de ordem 3 em z = pi/2.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral de uma função ao redor de uma curva fechada que envolve singularidades é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dessas singularidades. Como temos apenas um polo dentro de C, a integral será 2pi i vezes o resíduo em z = pi/2.

Passo 4

Como o polo é de ordem 3, usamos a fórmula para calcular o resíduo em pontos de ordem superior. A fórmula para o resíduo em um polo de ordem n é:
Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [ (z - z0)^n f(z) ]
No nosso caso, n = 3 e z0 = pi/2, então:
Res(sin(z)(z - pi/2)^3, pi2) = 12! limz to pi/2 d^2dz^2 [ (z - pi/2)^3 cdot sin(z)(z - pi/2)^3 ]
Simplificando, temos:
Res = 12 limz to pi/2 d^2dz^2 [sin(z)]

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de sin(z):
ddz sin(z) = cos(z)
Segunda derivada:
d^2dz^2 sin(z) = -sin(z)
Avaliando em z = pi/2:
-sin(pi2) = -1
Portanto, o resíduo é:
Res = 12 times (-1) = -12

Passo 6

Finalmente, aplicando o teorema dos resíduos, a integral fica:
ointC sin(z)(z - pi/2)^3 dz = 2pi i times (-12) = -pi i

Resposta

-pi i

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