Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
, onde C é qualquer curva simples, fechada tendo
2 como ponto interior
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o teorema dos resíduos. O enunciado pede para calcular a integral de
, onde
é uma curva fechada que envolve o ponto
. Para isso, vamos precisar entender resíduos de funções complexas, especialmente em torno de pontos singulares de ordem maior que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde está a singularidade da função que estamos integrando. A função
tem um ponto onde o denominador se anula, ou seja, quando
. Esse ponto é chamado de polo. Como o denominador está elevado ao cubo, temos um polo de ordem 3 em
.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral de uma função ao redor de uma curva fechada que envolve singularidades é igual a
vezes a soma dos resíduos dessas singularidades. Como temos apenas um polo dentro de
, a integral será
vezes o resíduo em
.
Passo 4
Como o polo é de ordem 3, usamos a fórmula para calcular o resíduo em pontos de ordem superior. A fórmula para o resíduo em um polo de ordem
é:
No nosso caso,
e
, então:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada:
Avaliando em
:
Portanto, o resíduo é:
Passo 6
Finalmente, aplicando o teorema dos resíduos, a integral fica:
Resposta
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