Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: , onde C é qualquer curva simples, fechada tendo 2 como ponto interior

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o teorema dos resíduos. O enunciado pede para calcular a integral de , onde é uma curva fechada que envolve o ponto . Para isso, vamos precisar entender resíduos de funções complexas, especialmente em torno de pontos singulares de ordem maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde está a singularidade da função que estamos integrando. A função tem um ponto onde o denominador se anula, ou seja, quando . Esse ponto é chamado de polo. Como o denominador está elevado ao cubo, temos um polo de ordem 3 em .

Passo 3

O próximo passo é aplicar o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral de uma função ao redor de uma curva fechada que envolve singularidades é igual a vezes a soma dos resíduos dessas singularidades. Como temos apenas um polo dentro de , a integral será vezes o resíduo em .

Passo 4

Como o polo é de ordem 3, usamos a fórmula para calcular o resíduo em pontos de ordem superior. A fórmula para o resíduo em um polo de ordem é:
No nosso caso, e , então:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de :
Segunda derivada:
Avaliando em :
Portanto, o resíduo é:

Passo 6

Finalmente, aplicando o teorema dos resíduos, a integral fica:

Resposta

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