Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC cos (z)z^2 d z, |z|=1

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para calcular uma integral usando o Teorema dos Resíduos. A integral que a gente tem é , onde o caminho é o círculo de raio 1 no plano complexo ( ). Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções complexas e como aplicar o Teorema dos Resíduos para facilitar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de caminhos fechados, especialmente quando a função tem singularidades (pontos onde a função não é definida ou “explode”). A fórmula do teorema diz que a integral ao redor de um caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse caminho.

Passo 3

Vamos analisar a função que estamos integrando: . Aqui, a única singularidade está em , porque quando , o denominador se torna zero, tornando a função indefinida. Além disso, essa singularidade é uma polo de ordem 2, já que o está elevado ao quadrado no denominador.

Passo 4

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos encontrar o resíduo da função em . O resíduo é basicamente o coeficiente de na expansão em série de Laurent da função em torno da singularidade.

Passo 5

Vamos expandir cos(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! em série de Taylor:
cos(z)z^2 = sumn=0^infty (-1)^n z^2n - 2(2n)!
Dividindo essa série por , temos:
Para achar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de . Isso ocorre quando , ou seja, . Mas é um número inteiro, e não existe inteiro que satisfaça essa equação. Portanto, não há termo de na expansão, o que significa que o resíduo em é zero.

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a ointC cos(z)z^2 , dz = 2pi i times 0 = 0 vezes o resíduo. Como o resíduo é zero:

Resposta

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