Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para calcular uma integral usando o Teorema dos Resíduos. A integral que a gente tem é
, onde o caminho
é o círculo de raio 1 no plano complexo (
). Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções complexas e como aplicar o Teorema dos Resíduos para facilitar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de caminhos fechados, especialmente quando a função tem singularidades (pontos onde a função não é definida ou “explode”). A fórmula do teorema diz que a integral ao redor de um caminho fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse caminho.
Passo 3
Vamos analisar a função que estamos integrando:
. Aqui, a única singularidade está em
, porque quando
, o denominador se torna zero, tornando a função indefinida. Além disso, essa singularidade é uma polo de ordem 2, já que o
está elevado ao quadrado no denominador.
Passo 4
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos encontrar o resíduo da função
em
. O resíduo é basicamente o coeficiente de
na expansão em série de Laurent da função em torno da singularidade.
Passo 5
Vamos expandir
em série de Taylor:
Dividindo essa série por
, temos:
Para achar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de
. Isso ocorre quando
, ou seja,
. Mas
é um número inteiro, e não existe
inteiro que satisfaça essa equação. Portanto, não há termo de
na expansão, o que significa que o resíduo em
é zero.
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes o resíduo. Como o resíduo é zero:
Resposta
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, onde C é qualquer curva simples, fechada tendo
2 como ponto interior
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