Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação para verificar se a série
converge ou diverge. O Teste da Comparação ajuda a comparar a série que queremos analisar com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da nossa série para facilitar a comparação. Observando
, podemos perceber que, para
grande, os termos de menor influência (como o “+2” e o “+1”) não afetam tanto o comportamento da série. Então, para simplificar, vamos aproximar a série por
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série para comparar com a nossa. A série que a gente vai usar é
, que é conhecida como a série p, onde
. Sabemos que séries p convergem quando
, então essa série específica converge.
Passo 4
Vamos agora comparar os termos das duas séries. Para todo
:
E, como
para
, podemos dizer que:
Passo 5
Então, temos que:
Como
é uma série que converge (é uma série p com
), pela Comparação Direta, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.
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