Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(i) sumn=1^infty n+2(n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação para verificar se a série converge ou diverge. O Teste da Comparação ajuda a comparar a série que queremos analisar com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da nossa série para facilitar a comparação. Observando , podemos perceber que, para grande, os termos de menor influência (como o “+2” e o “+1”) não afetam tanto o comportamento da série. Então, para simplificar, vamos aproximar a série por .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série para comparar com a nossa. A série que a gente vai usar é , que é conhecida como a série p, onde . Sabemos que séries p convergem quando , então essa série específica converge.

Passo 4

Vamos agora comparar os termos das duas séries. Para todo n+2(n+1)^3 <= n+2n^3 :
n+2n^3 <= 3nn^3 = 3n^2
E, como para , podemos dizer que:

Passo 5

Então, temos que:
n+2(n+1)^3 <= 3n^2
Como é uma série que converge (é uma série p com ), pela Comparação Direta, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação.

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