Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
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Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a série e precisamos usar o teste da comparação pra dizer se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se convergir ou divergir.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da nossa série: . Sabemos que o seno de qualquer número fica entre -1 e 1, então . Assim, , ou seja, .

Passo 3

Isso nos dá uma ideia de como comparar a nossa série. Podemos dizer que:
Agora, vamos comparar com a série .

Passo 4

A série é uma série geométrica com razão , que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas convergem se . Portanto, nossa série de comparação converge.

Passo 5

Como temos que e a série converge, pelo teste da comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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(b)
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(i)