Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
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Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a série
e precisamos usar o teste da comparação pra dizer se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se convergir ou divergir.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da nossa série:
. Sabemos que o seno de qualquer número fica entre -1 e 1, então
. Assim,
, ou seja,
.
Passo 3
Isso nos dá uma ideia de como comparar a nossa série. Podemos dizer que:
Agora, vamos comparar com a série
.
Passo 4
A série
é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas convergem se
. Portanto, nossa série de comparação
converge.
Passo 5
Como temos que
e a série
converge, pelo teste da comparação, a nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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(b)
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