Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o teste da comparação para verificar se a série
converge ou diverge. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo da série:
. Para valores grandes de
, o
vira pouco comparado com
, então podemos aproximar:
Isso nos ajuda a escolher uma série para comparar.
Passo 3
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, e ela diverge. Agora, vamos ver como nossos termos se relacionam com os termos dessa série.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries:
Para todo
,
Isso significa que os termos da nossa série são menores que os da série harmônica.
Passo 5
No teste da comparação, se estamos comparando com uma série que diverge e nossos termos são menores, isso não nos dá uma resposta direta. Então, precisamos tentar uma comparação diferente.
Passo 6
Vamos buscar uma estimativa inferior para nossos termos. Note que:
Passo 7
A série
também é uma série harmônica multiplicada por uma constante, e diverge. Como os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, pelo teste da comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)
(l)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(b)
(b)