Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o teste da comparação para verificar se a série converge ou diverge. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série: . Para valores grandes de , o vira pouco comparado com , então podemos aproximar:
Isso nos ajuda a escolher uma série para comparar.

Passo 3

Sabemos que a série é a famosa série harmônica, e ela diverge. Agora, vamos ver como nossos termos se relacionam com os termos dessa série.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
Para todo ,
Isso significa que os termos da nossa série são menores que os da série harmônica.

Passo 5

No teste da comparação, se estamos comparando com uma série que diverge e nossos termos são menores, isso não nos dá uma resposta direta. Então, precisamos tentar uma comparação diferente.

Passo 6

Vamos buscar uma estimativa inferior para nossos termos. Note que:

Passo 7

A série também é uma série harmônica multiplicada por uma constante, e diverge. Como os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, pelo teste da comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(b)