Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(m) sumn=1^infty 1raizn^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o teste da comparação para verificar se a série sumn=1^infty 1raizn^2+4 converge ou diverge. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série: 1raizn^2+4. Para valores grandes de n, o 4 vira pouco comparado com n^2, então podemos aproximar:
1raizn^2+4 approx 1raizn^2 = 1n
Isso nos ajuda a escolher uma série para comparar.

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, e ela diverge. Agora, vamos ver como nossos termos se relacionam com os termos dessa série.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
Para todo n >= 1,
1raizn^2+4 < 1n
Isso significa que os termos da nossa série são menores que os da série harmônica.

Passo 5

No teste da comparação, se estamos comparando com uma série que diverge e nossos termos são menores, isso não nos dá uma resposta direta. Então, precisamos tentar uma comparação diferente.

Passo 6

Vamos buscar uma estimativa inferior para nossos termos. Note que:
1raizn^2+4 > 1raizn^2+n^2 = 1raiz2n^2 = 1nraiz2

Passo 7

A série sumn=1^infty 1nraiz2 = 1raiz2 sumn=1^infty 1n também é uma série harmônica multiplicada por uma constante, e diverge. Como os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, pelo teste da comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn^2+4 diverge.

Exercícios relacionados