Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série . Nosso objetivo aqui é usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série para ver se conseguimos simplificar. Olhando pro numerador e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , os termos e são os que mais pesam. Ou seja, e .

Passo 3

Com isso, a fração fica aproximadamente para grandes valores de . Isso nos dá uma pista: podemos comparar nossa série com a série , que conhecemos ser uma série p com e que, por isso, é convergente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação Limitada. Vamos definir:
Calcular o limite :
Esse limite é um número finito e positivo.

Passo 5

Segundo o Teste de Comparação Limitada, se o limite entre e é um número positivo e finito, então as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Já sabemos que converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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Utilize uma série geométrica convergente para determinar a fração correspondente a cada uma das seguintes dízimas periódicas:
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.