Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
. Nosso objetivo aqui é usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série para ver se conseguimos simplificar. Olhando pro numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, os termos
e
são os que mais pesam. Ou seja,
e
.
Passo 3
Com isso, a fração
fica aproximadamente
para grandes valores de
. Isso nos dá uma pista: podemos comparar nossa série com a série
, que conhecemos ser uma série p com
e que, por isso, é convergente.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação Limitada. Vamos definir:
Calcular o limite
:
Esse limite é um número finito e positivo.
Passo 5
Segundo o Teste de Comparação Limitada, se o limite entre
e
é um número positivo e finito, então as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Já sabemos que
converge, então nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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