Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
1/ln(2) - 1/ln(3) + 1/ln(4) - 1/ln(5) + 1/ln(6) - ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da série alternada para decidir se a série
converge ou diverge. Basicamente, vamos verificar se essa série dá um resultado finito ou não usando esse teste específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da série alternada. Esse teste é usado para determinar a convergência de séries que têm termos que alternam sinais, ou seja, positivos e negativos alternadamente. Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas coisas:
  1. é decrescente: Os valores absolutos dos termos da série devem estar diminuindo conforme a série avança.
  2. : O limite dos termos da série, quando tende ao infinito, deve ser igual a zero.
Se as duas condições forem atendidas, a série converge; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série. A série dada pode ser escrita de forma geral como:
Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é decrescente. Precisamos mostrar que:
Ou seja:
Como o logaritmo natural é uma função crescente, . Portanto:
Então, é decrescente.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que tende ao infinito conforme aumenta, então:
Portanto, a segunda condição do teste da série alternada também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições do teste da série alternada foram atendidas ( é decrescente e seu limite é zero), a série
converge.

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Seja f(x, y) = x + raiz_cubica(x * y). Determine
Calcule f(2y^2, 4y).
Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1
Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn