VALOR 10 PONTOS
Uma onda sonora tem a expressão Y(x, t)=A cos (kx-omega t). Encontre a potência instantânea da onda, e explique fisicamente o que é potência instantânea da onda.
Observação: A, k e omega constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma onda sonora com a expressão . Nosso objetivo é encontrar a potência instantânea dessa onda e explicar o que exatamente isso significa fisicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas, derivadas e conceitos de potência em física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência instantânea P(x, t) = F(x, t) cdot v(x, t) de uma onda é a taxa na qual a energia é transferida pelo meio onde a onda está se propagando, em um instante específico de tempo e em uma posição específica.
Matematicamente, a potência instantânea pode ser calculada como o produto da força instantânea pela velocidade instantânea :

Passo 3

No caso de uma onda sonora, a força instantânea pode ser relacionada à pressão da onda, mas para simplificar, podemos considerar que a força é proporcional ao deslocamento da partícula na posição F(x, t) propto Y(x, t) e no tempo v(x, t) = partial Y(x, t)partial t . Assim, podemos escrever:
A velocidade instantânea é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos calcular a velocidade instantânea derivando Y(x, t) = A cos(kx - omega t) em relação ao tempo v(x, t) = partialpartial t [A cos(kx - omega t)] = A omega sin(kx - omega t) :
Derivando:

Passo 5

Agora, substituímos P(x, t) = F(x, t) cdot v(x, t) = A cos(kx - omega t) cdot A omega sin(kx - omega t) e P(x, t) = A^2 omega cos(kx - omega t) sin(kx - omega t) na expressão da potência instantânea:
Simplificando:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica:
2 sin theta cos theta = sin(2theta)
Aplicando isso na nossa expressão:
P(x, t) = A^2 omega2 sin(2(kx - omega t))

Resposta

A potência instantânea da onda sonora é dada por:
P(x, t) = A^2 omega2 sin[2(kx - omega t)]
Fisicamente, isso significa que a taxa de transferência de energia pela onda varia sinusoidalmente no espaço e no tempo, indicando que a potência instantânea oscila entre valores positivos e negativos à medida que a onda se propaga.

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