(Valor 0,5 ). Marque a alternativa que corresponde à resposta para a integral indefinida
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, facilitar a integral e depois reverter a substituição no final.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observando a integral
, percebemos que dentro do cosseno temos um logaritmo natural,
, que é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso é ótimo porque
aparece na nossa integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Essa integral é mais simples e sabemos que:
Passo 5
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A alternativa correta é:
d)
d)