(Valor 0,5 ). Marque a alternativa que corresponde à resposta para a integral indefinida integral cos (ln x)x d x
a) -cos (ln x)+C
b) sen(x)+ln x+C
c) -sen(ln x)+C
d) sen(ln x)+C
e) cos (ln x)+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, facilitar a integral e depois reverter a substituição no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observando a integral u = ln x , percebemos que dentro do cosseno temos um logaritmo natural, , que é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 1x em relação a du = 1x dx para encontrar :
Isso é ótimo porque aparece na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integral cos(u) , du e integral cos(u) , du = sin(u) + C na integral original, temos:
Essa integral é mais simples e sabemos que:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo sin(u) + C = sin(ln x) + C :

Resposta

A alternativa correta é:
d)

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