(Valor 1,5). Resolva a integral abaixo usando o método das frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a integral usando o método das frações parciais. Isso está chegando na matéria de cálculo integral, especificamente na técnica de frações parciais, que é usada para integrar funções racionais (ou seja, quocientes de polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador para decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever:
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador :
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a integral original como:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resolvida é:

Exercícios relacionados

(Valor 0,5 ). Marque a alternativa que corresponde à resposta para a integral indefinida
a)
b)
c)
d)
e)
(Valor 1,0). Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(d) ,
(Valor 1,0). Aplique a Regra do Fator Linear para a função racional da integral abaixo e ache as frações parciais. Não Precisa calcular.
(Valor 0,5 ). A substituição transforma a integral em qual das seguintes alternativas?
a)
b)
c)
d)
e)