(Valor 1,5). Resolva a integral abaixo usando o método das frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a integral
usando o método das frações parciais. Isso está chegando na matéria de cálculo integral, especificamente na técnica de frações parciais, que é usada para integrar funções racionais (ou seja, quocientes de polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador para decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever:
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
:
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Agora que encontramos A e B, podemos escrever a integral original como:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral resolvida é: