(Valor 1,5). Resolva a integral abaixo usando o método das frações parciais.
integral 1x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a integral integral 1x^2-4 , dx usando o método das frações parciais. Isso está chegando na matéria de cálculo integral, especificamente na técnica de frações parciais, que é usada para integrar funções racionais (ou seja, quocientes de polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador para decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a integral fica:
integral 1(x - 2)(x + 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1(x - 2)(x + 2) em frações parciais. A ideia é escrever:
1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador (x - 2)(x + 2):
1 = A(x + 2) + B(x - 2)
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
  • Se x = 2:
1 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
  • Se x = -2:
1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) Rightarrow 1 = -4B Rightarrow B = -14

Passo 5

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a integral original como:
integral ( 14x - 2 + -14x + 2 ) , dx = 14 integral 1x - 2 , dx - 14 integral 1x + 2 , dx

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resolvida é:
14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C

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