(Valor 2,0) Avalie a função dada por
(crescente, decrescente, concavidade, ponto de inflexão, máximo, minimo).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão, e se possui máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas na matemática, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
, que nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a
. Para
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa:
-
quando -
quando
Isso significa que a função está crescente para
e decrescente para
. O ponto
é um ponto crítico, e como a função muda de crescente para decrescente nesse ponto, temos um máximo local em
.
Passo 4
Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão, vamos calcular a segunda derivada de
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Vamos ver onde
muda de sinal:
-
quando -
quando
Então, a função é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. No ponto
, a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão em
.
Resposta
Resumindo, a função
é crescente para
, decrescente para
, possui um máximo local em
, é côncava para baixo quando
, côncava para cima quando
, e apresenta um ponto de inflexão em
.
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, aonde
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, se
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ache
por derivação implícita.