(Valor 2,0) Avalie a função dada por (crescente, decrescente, concavidade, ponto de inflexão, máximo, minimo).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão, e se possui máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas na matemática, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada de , que nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a . Para , usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa:
  • quando
  • quando
Isso significa que a função está crescente para e decrescente para . O ponto é um ponto crítico, e como a função muda de crescente para decrescente nesse ponto, temos um máximo local em .

Passo 4

Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão, vamos calcular a segunda derivada de :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Vamos ver onde muda de sinal:
  • quando
  • quando
Então, a função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . No ponto , a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão em .

Resposta

Resumindo, a função é crescente para , decrescente para , possui um máximo local em , é côncava para baixo quando , côncava para cima quando , e apresenta um ponto de inflexão em .

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Calcule a derivada das funções abaixo