(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(d) integral(-sec ^2 xcosec x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão usando identidades trigonométricas básicas e, em seguida, aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que -sec^2 xcosec x = -sec^2 x cdot sin x é o mesmo que integral -sec^2 x cdot sin x , dx . Substituindo isso na integral, temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos lembrar que integral -1cos^2 x cdot sin x , dx = -integral sin xcos^2 x , dx é igual a . Portanto, . Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração sin xcos^2 x = sin x cdot sec^2 x . Podemos escrever isso como:
u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx
Mas para facilitar a integração, é melhor usar uma substituição. Vamos definir:

Passo 5

Substituindo -integral sin xcos^2 x , dx = -integral 1u^2 cdot (-du) = integral 1u^2 , du e na integral:

Passo 6

Agora, integraremos integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a . Lembrando que:

Passo 7

Voltando à variável original -1u + C = -1cos x + C = -sec x + C , onde :

Resposta

A integral é igual a .

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