(Valor 1,0). Encontre escolhas apropriadas de u e de d v para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(a) integral x ln x d x ; u= , d v=

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para escolhermos funções e para aplicar a técnica de integração por partes na integral . Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre a integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples. Mas para usar essa técnica, precisamos escolher quais partes da nossa integral original serão e .

Passo 3

Uma boa estratégia para escolher e é usar a regra do LIATE, que é uma sigla que nos orienta na ordem de preferência para escolher . LIATE significa:
  • Logarítmico
  • Inverso trigonométrico
  • Algebraico
  • Trigonômico
  • Exponencial
No nosso caso, temos (logarítmico) e (algebraico). De acordo com o LIATE, a prioridade é dar para a função logarítmica.

Passo 4

Então, vamos escolher:
u = ln x
E o resto será dv = x , dx :
Dessa forma, podemos encontrar e para aplicar na fórmula da integração por partes.

Passo 5

Vamos derivar du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx para encontrar v = integral x , dx = x^22 :
E integrar para encontrar :
Agora temos tudo o que precisamos para aplicar a fórmula.

Resposta

Portanto, as escolhas apropriadas são:
u = ln x , dv = x , dx

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