O valor da constante para que função
seja derivável em todo seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve uma função que muda de expressão quando o valor de passa de 1. O conteúdo aqui é de Cálculo, especificamente sobre derivadas e condições para que uma função seja derivável em todo o seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que a derivada da função também seja contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Para , a função é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda:
Para , a função é . O valor da função em é:
Para a continuidade, temos que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é derivável em . Isso significa que a derivada da função à esquerda de 1 deve ser igual à derivada à direita de 1.
A derivada da primeira parte da função ( ) é:
Então, em :
A derivada da segunda parte da função ( ) é:
Então, em :
Para que a derivada seja contínua em :

Resposta

O valor da constante que torna a função derivável em todo o seu domínio é .

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Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:

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