O valor da constante
para que função
seja derivável em todo seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve uma função que muda de expressão quando o valor de
passa de 1. O conteúdo aqui é de Cálculo, especificamente sobre derivadas e condições para que uma função seja derivável em todo o seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que a derivada da função também seja contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Para
, a função é
. Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
Para
, a função é
. O valor da função em
é:
Para a continuidade, temos que:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é derivável em
. Isso significa que a derivada da função à esquerda de 1 deve ser igual à derivada à direita de 1.
A derivada da primeira parte da função (
) é:
Então, em
:
A derivada da segunda parte da função (
) é:
Então, em
:
Para que a derivada seja contínua em
:
Resposta
O valor da constante
que torna a função derivável em todo o seu domínio é
.
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Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:
?