O valor de uma máquina decresce com o tempo, devido ao desgaste. O valor é uma função do primeiro grau do tempo de uso da máquina. Se há dois anos ela valia 20.000,00 e hoje ela vale 15.000,00, quanto valerá daqui 5 anos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma função do primeiro grau, ou seja, uma função linear que representa como o valor da máquina diminui com o tempo devido ao desgaste. Vamos precisar encontrar uma equação que modele essa depreciação e, com ela, descobrir quanto a máquina vai valer daqui a 5 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função do primeiro grau tem a forma:
V(t) = m cdot t + b
Onde:
  • $ V(t) $ é o valor da máquina no tempo $ t $.
  • $ m $ é a inclinação da reta, que representa a taxa de depreciação.
  • $ b $ é o valor inicial da máquina quando $ t = 0 $.
No nosso caso, o tempo $ t $ será contado a partir de hoje. Então, vamos definir $ t = 0 $ como o momento atual, quando a máquina vale R$15.000,00.

Passo 3

Sabemos que há dois anos a máquina valia R$20.000,00. Vamos usar essas informações para encontrar a inclinação $ m $.
Temos dois pontos para a função $ V(t) $:
  • Dois anos atrás ($ t = -2 $), $ V(-2) = 20000 $
  • Hoje ($ t = 0 $), $ V(0) = 15000 $
A inclinação $ m $ é dada por:
20.000,00 Vamos usar essas informações para encontrar a inclinação
Substituindo os valores:
Temos dois pontos para a função
Isso significa que a máquina perde R$2.500,00 por ano.

Passo 4

Agora que temos a inclinação $ m = -2500 $, podemos escrever a equação da depreciação da máquina:
m = -2500
Sabemos que quando $ t = 0 $, $ V(0) = 15000 $. Substituindo na equação para encontrar $ b $:
V(t) = -2500 cdot t + b
t = 0
Então, a função que representa o valor da máquina é:
V(0) = 15000

Passo 5

Queremos saber quanto a máquina valerá daqui a 5 anos. Nesse caso, $ t = 5 $. Vamos substituir na função:
t = 5
V(5) = -2500 cdot 5 + 15000
V(5) = -12500 + 15000

Resposta

O valor da máquina daqui a 5 anos será de R$2.500,00.

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