(valor: 3,0) Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, a gente está lidando com uma **equação diferencial linear de segunda ordem** com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a **solução geral**, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da direita) com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a **equação homogênea** associada:
Para isso, a gente assume uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Como nunca é zero, a gente fica com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
Então, temos uma **raiz dupla**:
Passo 4
Com a raiz dupla , a **solução geral da equação homogênea** é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que determinam a solução específica baseada nas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma **solução particular** da equação completa:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a **solução geral** da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.
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(d.)
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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes. .
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