(valor: 3,0) Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: Aqui, a gente está lidando com uma **equação diferencial linear de segunda ordem** com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a **solução geral**, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da direita) com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a **equação homogênea** associada: Para isso, a gente assume uma solução da forma . Substituindo na equação, temos: Simplificando: Como nunca é zero, a gente fica com a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica: Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar: Então, temos uma **raiz dupla**:

Passo 4

Com a raiz dupla , a **solução geral da equação homogênea** é: Aqui, e são constantes arbitrárias que determinam a solução específica baseada nas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma **solução particular** da equação completa: Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma: Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de : Substituindo na equação diferencial: Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes: Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a **solução geral** da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é: Onde e são constantes arbitrárias.

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