(Valor: 2,5) o volante do motor de um carro está sendo testado, e o diâmetro do volante é igual a 0,20 m. A posição angular dessa roda é dada por: theta theta(t)=(10 t+15 t^2-2,5 t^3)
em que t está em segundos e theta em radianos. Quando t=4 s, determine:
(b) (1,0 pt) As intensidades da velocidade angular (omega) e da velocidade linear (v);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as intensidades da velocidade angular ( omega) e da velocidade linear ( v) do volante do carro quando t = 4 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente derivadas para encontrar a velocidade angular e a relação entre velocidade angular e linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a posição angular do volante:
theta(t) = 10t + 15t^2 - 2,5t^3
Aqui, theta(t) está em radianos e t em segundos.

Passo 3

Para encontrar a velocidade angular ( omega), precisamos derivar a posição angular em relação ao tempo. Ou seja:
omega(t) = dthetadt
Vamos calcular essa derivada:
omega(t) = ddt(10t) + ddt(15t^2) - ddt(2,5t^3) = 10 + 30t - 7,5t^2

Passo 4

Agora, substituímos t = 4 segundos na expressão de omega(t) para encontrar a velocidade angular nesse instante:
omega(4) = 10 + 30 times 4 - 7,5 times (4)^2 = 10 + 120 - 7,5 times 16 = 130 - 120 = 10 rad/s

Passo 5

Com a velocidade angular em mãos, vamos calcular a velocidade linear ( v). A relação entre elas é dada por:
v = omega times r
Onde r é o raio do volante. Sabemos que o diâmetro do volante é 0,20 m, então o raio é:
r = 0,202 = 0,10 m

Passo 6

Substituindo os valores de omega e r na fórmula:
v = 10 rad/s times 0,10 m = 1,0 m/s

Resposta

Quando t = 4 segundos, a velocidade angular é 10 rad/s e a velocidade linear é 1,0 m/s.

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