1. Qual o valor de y que satisfaz cada uma das equa- ções a seguir? a) (y + 5)/(y - 2) = (y + 1)/(y + 4) b) (y + 4)/(y - 1) - 3/(y - 1) = (y - 2)/(y - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício número 16 que tem duas partes. A gente precisa encontrar o valor de $ y $ que satisfaz cada uma das equações dadas. Esse exercício envolve equações racionais, que são equações onde a incógnita $ y $ está no denominador. Para resolver, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra, como produto cruzado e simplificação de frações.

Passo 2

Parte a) y + 5y - 2 = y + 1y + 4
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação onde duas frações são iguais, a gente pode fazer o produto cruzado. Isso significa multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra e igualar os dois resultados.
Então, aplicando o produto cruzado:
(y + 5)(y + 4) = (y + 1)(y - 2)
Agora, vamos expandir os parênteses:
y cdot y + y cdot 4 + 5 cdot y + 5 cdot 4 = y cdot y - y cdot 2 + 1 cdot y - 2 cdot 1
Simplificando:
y^2 + 4y + 5y + 20 = y^2 - 2y + y - 2
y^2 + 9y + 20 = y^2 - y - 2
Agora, vamos subtrair $ y^2 $ de ambos os lados para eliminar o termo quadrático:
y^2
Vamos isolar $ y $. Primeiro, somamos $ y $ em ambos os lados:
9y + 20 = -y - 2
Em seguida, subtraímos 20 de ambos os lados:
y
Finalmente, dividimos por 10:
y

Passo 3

Parte b) y + 4y - 1 - 3y - 1 = y - 2y - 3
Primeiro, vamos notar que as duas primeiras frações têm o mesmo denominador $ y - 1 $, então podemos combinar os numeradores:
y - 1
(y + 4) - 3y - 1 = y - 2y - 3
Agora, aplicamos o produto cruzado:
y + 1y - 1 = y - 2y - 3
Vamos expandir os parênteses:
(y + 1)(y - 3) = (y - 2)(y - 1)
Simplificando:
y cdot y - y cdot 3 + 1 cdot y - 1 cdot 3 = y cdot y - y cdot 1 - 2 cdot y + 2 cdot 1
y^2 - 3y + y - 3 = y^2 - y - 2y + 2
Vamos subtrair $ y^2 $ de ambos os lados:
y^2 - 2y - 3 = y^2 - 3y + 2
Agora, somamos $ 3y $ em ambos os lados:
y^2
Em seguida, adicionamos 3 em ambos os lados:
-2y - 3 = -3y + 2

Resposta

a) $ y = -\frac{11}{5} $
b) $ y = 5 $

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