Para que valores de , e a função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores de , e que fazem com que a função seja bem comportada. A função é definida de forma diferente em três intervalos:
O conteúdo que vamos usar aqui é de continuidade de funções por partes, ou seja, garantirmos que a função não tenha “saltos” nos pontos onde a definição muda. Para isso, vamos precisar igualar os limites das funções nos pontos de transição, garantindo que tudo se encaixe direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua no ponto . Na definição de , temos que:
  • Para , .
  • Para valores próximos a pela direita ( aproximando-se de pelo lado positivo), usamos a expressão .
Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de pela direita deve ser igual ao valor de . Então:
Calculando o limite:
Igualando ao valor de :

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Aqui a função muda de para .
  • Para valores próximos a pela esquerda ( aproximando-se de pelo lado esquerdo), usamos .
  • Para valores próximos a pela direita ( aproximando-se de pelo lado direito), usamos .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda:
Como já sabemos que :
Agora, o limite pela direita:
Para a continuidade em :

Passo 4

Até aqui, já encontramos que e temos uma relação entre e :
Agora, precisamos de mais uma condição para determinar e . Geralmente, no final do intervalo, , a função deve ter um valor definido. Vamos supor que a função deve ser contínua em , ou seja, não pode ter salto nesse ponto.
Para , a função é definida por :
Se não houver mais condições dadas no exercício, podemos assumir que está bem definida em apenas com essa expressão. Portanto, sem mais informações, a única relação que temos entre e é .
Mas, para resolver completamente, podemos escolher um dos valores ou expressar um em termos do outro. Por exemplo:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua são:
  • e devem satisfazer
Isso significa que qualquer par onde a soma de e é 5 vai funcionar, por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • E assim por diante.

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