Para quais valores reais de os vetores , e formam um conjunto L.I. em ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional :
O objetivo é descobrir para quais valores reais de esses vetores são linearmente independentes (L.I.). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes.
Passo 2
Primeiro, formamos uma matriz cujas colunas são os vetores , e :
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
-lambda^3 + 3lambda4 + 14 neq 0
Multiplicando a equação por -1 para simplificar:
lambda^3 - 3lambda4 - 14 neq 0
Podemos tentar encontrar as raízes da equação lambda^3 - 3lambda4 - 14 = 0 para identificar os valores de lambda que tornam o determinante zero. Porém, como estamos interessados nos valores onde o determinante não é zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes para todos os valores de lambda exceto aqueles que são raízes dessa equação.
Resposta
Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes para todos os valores reais de lambda, exceto para as raízes da equação lambda^3 - 3lambda4 - 14 = 0. Ou seja, para todo lambda in R tal que lambda^3 - 3lambda4 - 14 neq 0.