Para quais valores reais de lambda os vetores v1=(lambda,-1 / 2,-1 / 2), v2=(-1 / 2,-1 / 2, lambda) e v3=(-1 / 2, lambda,-1 / 2) formam um conjunto L.I. em R^3 ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
v1 = (lambda, -12, -12), v2 = (-12, -12, lambda), v3 = (-12, lambda, -12)
O objetivo é descobrir para quais valores reais de lambda esses vetores são linearmente independentes (L.I.). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes.

Passo 2

Primeiro, formamos uma matriz A cujas colunas são os vetores v1, v2 e v3:
A = lambda & -12 & -12 -12 & -12 & lambda -12 & lambda & -12

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando essa fórmula à nossa matriz:
det(A) = lambda ( (-12)(-12) - lambda cdot lambda ) - (-12) ( (-12)(-12) - (-12) cdot lambda ) + (-12) ( (-12) cdot lambda - (-12) cdot (-12) )

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
lambda ( 14 - lambda^2 ) = lambda cdot 14 - lambda^3 = lambda4 - lambda^3
  1. Segundo termo:
-(-12) ( 14 - (-12) lambda ) = 12 ( 14 + lambda2 ) = 18 + lambda4
  1. Terceiro termo:
-12 ( -lambda2 - 14 ) = -12 ( -lambda2 - 14 ) = lambda4 + 18

Passo 5

Agora, somamos todos os termos simplificados:
det(A) = (lambda4 - lambda^3) + (18 + lambda4) + (lambda4 + 18)
Somando os termos semelhantes:
  • Termos com lambda:
lambda4 + lambda4 + lambda4 = 3lambda4
  • Termos constantes:
18 + 18 = 14
Então:
det(A) = 3lambda4 - lambda^3 + 14 = -lambda^3 + 3lambda4 + 14

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
-lambda^3 + 3lambda4 + 14 neq 0
Multiplicando a equação por -1 para simplificar:
lambda^3 - 3lambda4 - 14 neq 0
Podemos tentar encontrar as raízes da equação lambda^3 - 3lambda4 - 14 = 0 para identificar os valores de lambda que tornam o determinante zero. Porém, como estamos interessados nos valores onde o determinante não é zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes para todos os valores de lambda exceto aqueles que são raízes dessa equação.

Resposta

Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes para todos os valores reais de lambda, exceto para as raízes da equação lambda^3 - 3lambda4 - 14 = 0. Ou seja, para todo lambda in R tal que lambda^3 - 3lambda4 - 14 neq 0.

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