Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Como a igualdade é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
Sabemos que:
Agora, somando
e
:
Para que
esteja em
, deve ser verdade que:
Mas, ao expandir:
Sabemos que
e
, mas os termos
e
não necessariamente são zero. Portanto,
pode não ser igual a zero, o que significa que
pode não estar em
.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos encontrado que
não é fechado sob adição, vamos verificar a última propriedade para completar.
Vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor
por um escalar
, teremos:
Para que
esteja em
, deve ser:
Então,
sempre estará em
.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.
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Para quais valores reais de
os vetores
,
e
formam um conjunto L.I. em
?
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abaixo são subespaços vetoriais de
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