Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 mid x1 cdot x2=0 e V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x1 cdot x2 = 0 cdot 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Como a igualdade é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u = (x1, x2, x3, x4) e v = (y1, y2, y3, y4) é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em x1 cdot x2 = 0 e y1 cdot y2 = 0 e os somarmos, o resultado também deve estar em u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4) .
Vamos considerar dois vetores em (x1 + y1) cdot (x2 + y2) = 0 :
(x1 + y1) cdot (x2 + y2) = x1x2 + x1y2 + y1x2 + y1y2
Sabemos que:
Agora, somando e :
Para que esteja em , deve ser verdade que:
Mas, ao expandir:
Sabemos que e , mas os termos e não necessariamente são zero. Portanto, pode não ser igual a zero, o que significa que pode não estar em .

Passo 4

Mesmo que já tenhamos encontrado que k cdot u = (k x1, k x2, k x3, k x4) não é fechado sob adição, vamos verificar a última propriedade para completar.
Vamos verificar se (k x1) cdot (k x2) = k^2 cdot (x1x2) = k^2 cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor por um escalar , teremos:
Para que esteja em , deve ser:
Então, sempre estará em .

Resposta

Como não é fechado sob adição, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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